正弦定理外接圆证明法，用向量法证明正弦定理

本内容由小编为大家分享关于高校招生简章、录取分数、报名考试、志愿填报、大学院校排名等教育信息。

正弦定理的证明方法有很多种，以下是其中几种常见的证明方法：

方法一：利用三角形的面积公式

证明：设三角形的外接圆半径为R，则三角形的面积S为：

S=1/2acsinB=1/2bcsinA=1/2absinC

由正弦定理可知：

sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R

将sinA、sinB、sinC代入面积公式得：

S=1/(4R2)acimes(a/2R)imes(b/2R)imes(c/2R)=abc/8R2

因为三角形的面积是定值，所以abc=8R2，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。

方法二：利用余弦定理

证明：设三角形的三边长分别为a、b、c，对应角分别为A、B、C，则有：

cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

将上述三个式子相乘得：

cosA×cosB×cosC=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)×(a^2+c^2-b^2)/(2ac)×(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

由于cosA、cosB、cosC的乘积是常数，因此可以得出：

a/sinA=b/sinB=c/sinC

方法三：利用向量数量积

证明：设三角形的三边长分别为a、b、c，对应角分别为A、B、C，则有：

|BA|×|BC|×cosB=(|AB|×|AC|)×cos(π-A)

由于cosB和cos(π-A)都不为0，因此可以得出：

|BA|/|BC|=|AC|/|AB|=sinA/sinC

同理可以得出：

|BA|/|AB|=sinB/sinA

|BC|/|AC|=sinC/sinB

因此可以得出：

a/sinA=b/sinB=c/sinC

方法四：利用正弦定理的推论

证明：由正弦定理可知，在任意三角形ABC中，有：

a=2RimessinA

b=2RimessinB

c=2RimessinC

所以可以得出：

a/sinA=b/sinB=c/sinC

正弦定理的公式是什么

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2。

在直角三角形中，∠A(非直角)的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，故记作sinA，即sinA=∠A的对边/∠A的斜边 古代说法，正弦是股与弦的比例。

古代说的“勾三股，四弦五”中的“弦”，就是直角三角形中的斜边。

股就是人的大腿，长长的，古人称直角三角形中长的那个直角边为“股”;正方的直角三角形，应是大腿站直。

正弦是∠α(非直角)的对边与斜边的比值，余弦是∠A(非直角)的邻边与斜边的比值。

勾股弦放到圆里。弦是圆周上两点连线。

最大的弦是直径。 把直角三角形的弦放在直径上，股就是长的弦，即正弦，而勾就是短的弦，即余弦。

按现代说法，正弦是直角三角形某个角(非直角)的对边与斜边之比，即：对边/斜边。

高中数学正弦定理公式

数学正弦定理公式：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R;余弦定理公式：cos A=(b?+c?-a?)/2bc。

正余弦定理指正弦定理和余弦定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

一、正弦定理推论公式

1、a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC。

2、a:b=sinA:sinB;a:c=sinA:sinC;b:c=sinB:sinC;a:b:c=sinA:sinB:sinC。

二、余弦定理推论公式

1、cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc;2、cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac;3、cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。

三、正弦定理的运用：

1、已知三角形的两角与一边，解三角形。

2、已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形。

3、运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系。

四、余弦定理的运用：

1、当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。

2、当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。

3、当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的面积。

正弦定理的证明方法四种

正弦定理的证明方法有很多种，以下是四种常见的证明方法：

方法一：利用三角形的面积公式

证明：设三角形的外接圆半径为R，则三角形的面积S为：

S=1/2acsinB=1/2bcsinA=1/2absinC

由正弦定理可知：

sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R

将sinA、sinB、sinC代入面积公式得：

S=1/(4R2)acimes(a/2R)imes(b/2R)imes(c/2R)=abc/8R2

因为三角形的面积是定值，所以abc=8R2，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。

方法二：利用余弦定理

证明：设三角形的三边长分别为a、b、c，对应角分别为A、B、C，则有：

cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

将上述三个式子相乘得：

cosA×cosB×cosC=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)×(a^2+c^2-b^2)/(2ac)×(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

由于cosA、cosB、cosC的乘积是常数，因此可以得出：

a/sinA=b/sinB=c/sinC

方法三：利用向量数量积

证明：设三角形的三边长分别为a、b、c，对应角分别为A、B、C，则有：

向量BA与向量BC的数量积为：

|BA|×|BC|×cosB=(|AB|×|AC|)×cos(π-A)

由于cosB和cos(π-A)都不为0，因此可以得出：

∣BA∣/∣BC∣=∣AC∣/∣AB∣=sinA/sinC

同理可以得出：

∣BA∣/∣AB∣=sinB/sinA

∣BC∣/∣AC∣=sinC/sinB

因此可以得出：

a/sinA=b/sinB=c/sinC

方法四：利用正弦定理的推论

证明：由正弦定理可知，在任意三角形ABC中，有：

a=2RimessinA

b=2RimessinB

c=2RimessinC

所以可以得出：

a/sinA=b/sinB=c/sinC

求正弦定理的推导

在△abc中,设ab⊥cd

cd=a·sinb

cd=b·sina

∴a·sinb=b·sina

得到

a/sina=b/sinb

同理，在△abc中，

b/sinb=c/sinc

常见的初中数学公式

1 过两点有且只有一条直线

2 两点之间线段最短

3 同角或等角的补角相等

4 同角或等角的余角相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短

7 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行

8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行

9 同位角相等,两直线平行

10 内错角相等,两直线平行

11 同旁内角互补,两直线平行

12两直线平行,同位角相等

13 两直线平行,内错角相等

14 两直线平行,同旁内角互补

15 定理 三角形两边的和大于第三边

16 推论 三角形两边的差小于第三边

17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°

18 推论1直角三角形的两个锐角互余

19 推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20 推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

Www.ZhaoSheng.net高考招生网提供最新高考成绩查询时间,高考成绩查询入口,高考信息,高考志愿填报指导,高考政策,高考分数线,高考录取人数,高考真题,高考作文,高校招生报名信息。