高中数学复数选择题技巧，数学合格考复数知识点

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复数

考试内容：

复数的概念．

复数的加法和减法．

复数的乘法和除法．

数系的扩充．

考试要求：

（1）www.zhaosheng.net了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．

（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．

（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．

一、复数知识要点

1.⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即 .

⑵复数及其相关概念：

①  复数—形如a+bi的数（其中 ）；

②  实数—当b=0时的复数a+bi，即a；

③  虚数—当 时的复数a+bi；

④  纯虚数—当a=0且 时的复数a+bi，即bi.

⑤  复数a+bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）

⑥  复数集C—全体复数的*，一般用字母C表示.

⑶两个复数相等的定义：

.

⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

注：①若 为复数，则 若 ，则 .（×）[ 为复数，而不是实数]

若 ，则 .（√）

②若 ，则 是 的必要不充分条件.（当 ，

时，上式成立）

2.⑴复平面内的两点间距离公式： .

其中 是复平面内的两点 所对应的复数， 间的距离.

由上可得：复平面内以 为圆心， 为半径的圆的复数方程： .

⑵曲线方程的复数形式：

① 为圆心，r为半径的圆的方程.

② 表示线段 的垂直平分线的方程.

③ 为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若 ，此方程表示线段 ）.

④ 表示以 为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若 ，此方程表示两条射线）.

⑶绝对值不等式：

设 是不等于零的复数，则

① .

左边取等号的条件是 ，右边取等号的条件是 .

② .

左边取等号的条件是 ，右边取等号的条件是 .

注： .

3.共轭复数的性质：

， （ a+bi）

（ ）

注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]

4 ⑴①复数的乘方：

②对任何 ， 及 有

③

注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如 若由 就会得到 的错误结论.

②在实数集成立的 .当 为虚数时， ，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.

⑵常用的结论：

若 是1的立方虚数根，即 ，则                                                 .

5. ⑴复数 是实数及纯虚数的充要条件：

① .

②若 ， 是纯虚数 .

⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数.特例：零向量的方向是任意的，其模为零.

注： .

6.⑴复数的三角形式： .

辐角主值： 适合于0≤ ＜ 的值，记作 .

注：① 为零时， 可取 内任意值.

②辐角是多值的，都相差2 的整数倍.

③设 则 .

⑵复数的代数形式与三角形式的互化：

， ， .

⑶几类三角式的标准形式：

7.复数集中解一元二次方程：

在复数集内解关于 的一元二次方程 时，应注意下述问题：

①当 时，若 ＞0，则有二不等实数根 ；若 =0，则有二相等实数根 ；若 ＜0，则有二相等复数根 （ 为共轭复数）.

②当 不全为实数时，不能用 方程根的情况.

③不论 为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.

8.复数的三角形式运算：

棣莫弗定理：

二、复数知识点总结

1.知识网络图

2.复数中的难点

(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明.

(2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练.

(3)复数的辐角主值的求法.

(4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.

3.复数中的重点

(1)理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.

(2)熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容.

(3)复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容.

(4)复数集中一元二次方程和二项方程的解法。

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