2016年高考数学导数，2016高考数学解题技巧

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极限

考试内容：

教学归纳法．数学归纳法应用．

数列的极限．

函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．

考试要求：

（1）ZikaoONLine.COM理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

（2）了解数列极限和函数极限的概念．

（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．

（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．

一、极限知识要点

1.⑴第一数学归纳法：①证明当 取第一个 时结论正确；②假设当 （ ）时，结论正确，证明当 时，结论成立.

⑵第二数学归纳法：设 是一个与正整数 有关的命题，如果

①当 （ ）时， 成立；

②假设当 （ ）时， 成立，推得 时， 也成立.

那么，根据①②对一切自然数 时， 都成立.

2.⑴数列极限的表示方法：

①

②当 时， .

⑵几个常用极限：

① （ 为常数）

②

③对于任意实常数，

当 时，

当 时，若a=1，则 ；若 ，则 不存在

当 时， 不存在

⑶数列极限的四则运算法则：

如果 ，那么

①

②

③

特别地，如果C是常数，那么

.

⑷数列极限的应用：

求无穷数列的各项和，特别地，当 时，无穷等比数列的各项和为 .

（化循环小数为分数方法同上式）

注：并不是每一个无穷数列都有极限.

3.函数极限；

⑴当自变量 无限趋近于常数 （但不等于 ）时，如果函数 无限趋进于一个常数 ，就是说当 趋近于 时，函数 的极限为 .记作 或当 时， .

注：当 时， 是否存在极限与 在 处是否定义无关，因为 并不要求 .（当然， 在 是否有定义也与 在 处是否存在极限无关. 函数 在 有定义是 存在的既不充分又不必要条件.）

如 在 处无定义，但 存在，因为在 处左右极限均等于零.

⑵函数极限的四则运算法则：

如果 ，那么

①

②

③

特别地，如果C是常数，那么

.

（ ）

注：①各个函数的极限都应存在.

②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.

⑶几个常用极限：

①

② （0＜ ＜1）； （ ＞1）

③

④ ， （ ）

4.函数的连续性：

⑴如果函数f（x），g（x）在某一点 连续，那么函数 在点 处都连续.

⑵函数f（x）在点 处连续必须满足三个条件：

①函数f（x）在点 处有定义；② 存在；③函数f（x）在点 处的极限值等于该点的函数值，即 .

⑶函数f（x）在点 处不连续（间断）的判定：

如果函数f（x）在点 处有下列三种情况之一时，则称 为函数f（x）的不连续点.

①f（x）在点 处没有定义，即 不存在；② 不存在；③ 存在，但 .

5.零点定理，介值定理，夹逼定理：

⑴零点定理：设函数 在闭区间 上连续，且 .那么在开区间 内至少有函数 的一个零点，即至少有一点 （ ＜ ＜ ）使 .

⑵介值定理：设函数 在闭区间 上连续，且在这区间的端点取不同函数值， ，那么对于 之间任意的一个数 ，在开区间 内至少有一点 ，使得 （ ＜ ＜ ）.

⑶夹逼定理：设当 时，有 ≤ ≤ ，且 ，则必有

注： ：表示以 为的极限，则 就无限趋近于零.（ 为最小整数）

6.几个常用极限：

①

②

③ 为常数）

④

⑤ 为常数）

二、极限与探索性问题

【命题趋向】

综观历届全国各套高考数学试题,我们发现对极限的考查有以下一些知识类型与特点:

1.数学归纳法

①客观性试题主要考查学生对数学归纳法的实质的理解,掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用).

②解答题大多以考查数学归纳法内容为主,并涉及到函数、方程、数列、不等式等综合性的知识,在解题过程中通常用到等价转化,分类讨论等数学思想方法,是属于中高档难度的题目

③数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想,抽象与概括,从特殊到一般是应用数学归纳法的一种主要思想方法.在由n=k时命题成立,证明n=k1命题也成立时,要注意设法化去增加的项,通常要用到拆项、组合、添项、减项、分解、化简等技巧,这一点要高度注意.

2.数列的极限

①客观性试题主要考查极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容,对基本的计算技能要求比较高,直接运用四则运算法则求极限.

②解答题大多结合数列的计算求极限等,涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题,在解题过程中通常用到等价转化,分类讨论等数学思想方法,是属于中高档难度的题目.

③数列与几何:由同样的方法得到非常有规律的同一类几何图形,通常相关几何量构成等比数列,这是一类新题型.

3.函数的极限

①此部分为新增内容,本章内容在高考中以填空题和解答题为主.应着重在概念的理解,通过考查函数在自变量的某一变化过程中,函数值的变化趋势,说出函数的极限.

②利用极限的运算法则求函数的极限进行简单的运算.

③利用两个重要极限求函数的极限.

④函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中,必将这一块内容溶入到函数内容中去,因而一定成为高考的又一个热点.

4.在一套 高考试题 中,极限一般分别有1个客观题或1个解答题,分值在5分-12分之间.

5.在 高考试题 中,极限题多以低档或中档题目为主,一般不会出现较难题,更不会出现难题,因而极限题是高考中的得分点.

6.注意掌握以下思想方法

①极限思想:在变化中求不变,在运动中求静止的思想;

②数形结合思想,如用导数的几何意义及用导数求单调性、极值等.

此类题大多以解答题的形式出现,这类题主要考查学生的综合应用能力,分析问题和学生解决问题的能力,对运算能力要求较高.

【考点透视】

1.理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

2.了解数列极限和函数极限的概念.

3.掌握极限的四则运算法则;会求某些数列与函数的极限.

4.了解函数连续的意义,了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.

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